Számos olyan hallgató, akik fejlett matematikákat tanulnak továbbfejlesztett kurzusokon, valószínűleg azon gondolkodtak: vajon hol alkalmazzák a differenciálegyenleteket (DE) a gyakorlatban? Általános szabály, hogy ezt a kérdést az előadások nem tárgyalják, és a tanárok haladéktalanul elindulnak a kontrollelmélet megoldásához anélkül, hogy magyarázatot adnának a hallgatóknak a differenciálegyenletek használatáról a valós életben. Megpróbáljuk kitölteni ezt a rést.
A differenciálegyenlet meghatározásával kezdjük. Tehát, a differenciálegyenlet egy olyan egyenlet, amely a derivatív függvény értékét maga a függvényhez köti, egy független változó értékét és néhány számot (paramétert).
A differenciálegyenletek alkalmazásának leggyakoribb területe a természeti jelenségek matematikai leírása. Ezeket a problémákat is olyan problémák megoldásában használják, ahol lehetetlen közvetlen kapcsolatot létesíteni bizonyos folyamatokat leíró értékek között. Ilyen feladatok merülnek fel a biológiában, a fizikában és a közgazdaságban.
A biológiában:
Az első lényeges matematikai modell, amely a biológiai közösségeket leírta, a Lotka-Volterra modell volt. Két kölcsönhatásba lépő faj populációját írja le. Az első, ragadozóknak nevezett, az x '= –ax (a> 0) törvény szerint elpusztul, a második hiányában, a második, áldozatok ragadozók hiányában pedig a Malthus-törvénynek megfelelően korlátlanul szaporodnak. E két faj kölcsönhatását az alábbiak szerint modellezzük. Az áldozatok elhalnak olyan arányban, mint a ragadozók és az áldozatok találkozása, ami ebben a modellben feltételezhető, hogy arányos mindkét populáció számával, azaz egyenlő a dxy-val (d> 0). Ezért y '= by-dxy. A ragadozók az elfogyasztott zsákmányok számával arányos reprodukcióval járnak: x '= –ax + cxy (c> 0). Az egyenletek rendszere
x '= –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
leírva egy ilyen populációt, a ragadozó zsákmány, és Trays - Volterra rendszernek (vagy modellnek) hívják.
A fizikában:
Newton második törvénye differenciálegyenlet formájában írható
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), ahol m a test tömege, x a koordinátája, F (x, t) a testnél az x koordinátával ható erő t időben. Megoldása a test pályája ezen erő hatására.
